DERET GEOMETRI

KEMENTRIAN AGAMA RI

TAHUN PELAJARAN 2014/2015

MAKALAH

“MATEMATIKA”

(DERET GEOMETRI)

KELOMPOK V

ANGGOTA :

1. Asroroy Maulana Ersalengga

2. Emi Marsoeni Hizbi

3. Huspina Kurratul Aini

4. M. Akhirudin Nurul Huda

5. Novia Maisya Lestari

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat, taufik serta hidayahNya, sehingga Makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Tidak lupa pula penulis mengucapkan terima kasih kepada guru bidang study “Matematika” yang telah membantu dalam proses penulisan Makalah ini.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa terdapat banyak kekurangan dalam Makalah ini. Oleh karena itu saran dan kritik yang sifatnya membangun dari pembaca sangat diharapkan.

Akhirnya penulis berharap semoga Makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca, siswa/i, peneliti untuk masa yang akan datang.

                                                                                                              Penulis

Selong, 14-01-2015

DAFTAR ISI

Halaman Judul................................................................................................................ i

Kata pengantar................................................................................................................ ii

Daftar Isi......................................................................................................................... iii

Pembahasa...................................................................................................................... 1

A.    Pengertian Deret Geometri................................................................................. 1

B.     Pembuktian Rumus............................................................................................. 2

C.     Rumus-rumus Deret Geometri............................................................................ 2

D.    Deret Geometri Tak Hingga............................................................................... 4

Contoh Soal.................................................................................................................... 6

Daftar Pustaka................................................................................................................ iv

PEMBAHASAN

A. Pengertian Deret Geometri

Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret geometri.

Jadi, bentuk penjumlahan dari barisan geometri U₁, U₂, U₃, …, yaitu U₁+ U₂ + U₃ + … disebut deret geometri.

Bentuk umum deret geometri :

(

) atau (a + ar² + … + ar^n-1).

dimana:
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

o Jumlah n suku

, jika

Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
U_n> U_n-1
Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
U_n< U_n-1
Bergantian naik turun, jikar < 0
Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah

B. Pembuktian

Suku ke-n

$a_2 = a\,r^1$

$a_3 = a\,r^2$

$a_n = a\,r^{n-1}$

jadi jumlah suku ke-n adalah $a_n = a\,r^{n-1}$

Jumlah suku ke-n

$s_n = a + a\,r^1 + a\,r^2 + .... + a\,r^{n-2} + a\,r^{n-1}$ .... (1)

$s_n r = a\,r^1 + a\,r^2 + a\,r^3 + .... + a\,r^{n-1} + a\,r^n$ ... (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

$s_n - s_n r = a - a\,r^1 + a\,r^1 - a\,r^2 + a\,r^2 - a\,r^3 + .... + a\,r^{n-2} - a\,r^{n-1} + a\,r^{n-1} - a\,r^n$

$s_n\,(1-r) = a - a\,r^n$

$s_n = \frac{a\,(1-r^{n})}{1-r}$

C. Rumus-rumus Deret Geometri :

8. $a_n = a\,r^{n-1}$

9. $s_\infty = \frac{a}{1-r}$ untuk -1 < r < 1

10. $r = \frac{a_n}{a_{n-1}}$

11. $u_t = \sqrt{a\,{a_{n}}}$

12.

13. $r_b = r^{\frac{1}{x+1}}$

Catatan :

Jumlah n suku pertama deret geometri dapat di tuliskan dengan memakai notasi sigma sebagai berikut :

S_n= a + ar + ar² + . . . + ar^n-1=

Rumus poin ketiga biasanya di gunakan untuk r < 1, sedangkan rumus poin keempat digunakan untuk r>1.

Sifat-sifat S_npada deret geometri :

Jumlah n suku pertama deret geometri mempunyai sifat sebagai berikut :

1. Sn

atau

merupakan fungsi eksponen dari n yang mengandung suku tetapan

2. Untuk setiap n € bilangan asli, berlaku hubungan S_n – S_n-1 = U_n. Sifat ini sangat mudah untuk dibuktikan.

D. Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r |< 1. Jumlah S deret geometri tak hingga adalah

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga, terdapat dua kasus yang harus kita perhatikan, yaitu:

Kasus 1

Deret geometri dengan -1 <r <1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat). Kasus 2

Deret geometri dengan r <-1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar).

Jadi, deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U₁ + U₂ + U₃ + …

= a + ar + ar² + …

dimana

dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat:

Jumlah tak berhingga

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar²+ ar³+ ar⁴+ …

· Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a +ar²+ar⁴+ …

· Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + …

Maka didapatkan hubungan:

CONTOH SOAL

1. Suku pertama deret geometri = 192 dan rasionya =1/2. Jumlah 7 suku pertama deret itu adalah . . . . .

Pembahasan :

S_n=

S₇=

= 384 (

) = 381

2. Suku pertama suatu deret geometri = 16 dan rasio =

. jumlah enam suku pertama deret geometri adalah . . . . .

Pembahasan :

S_n=

= 32

= 31,5

3. Hitunglah jumlah 9 suku pertama dari barisan aⁿ = 3ⁿ.

Pembahasan:

Jumlah 9 suku pertama dapat juga dinotasikan ke dalam notasi sigma sebagai berik

Dari deret tersebut kita dapat memperoleh suku pertama a₁ = 3, rasio r = 3, dan banyaknya suku n = 9. Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama, kita mendapatkan

Jadi, jumlah sembilan suku pertama dari barisan a_n = 3ⁿ adalah 29.523.

4. Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut?

Penyelesaian:

Untuk mencari suku ke-n, jika diketahui jumlah nilai suku-sukunya, maka rumus yang berlaku adalah:

Un = Sn - S(n - 1)

Jumlah nilai 9 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S9 = 2(9)² + 4(9)

S9 = 2.81 + 36

S9 = 198.

Jumlah nilai 8 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S8 = 2(8)² + 4(8)

S8 = 2.64 + 32

S8 = 160.

Maka nilai dari suku ke-9 adalah

Un = Sn - S(n - 1)

U9 = S9 - S8

U9 = 198 - 160 = 38.

5. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 368 D. 379

B. 369 E. 384

C. 378

(UN 2008 P45)

Jawaban : C

Diketahui :

suku pertama = a = 6

suku keempat = U₄ = ar³ = 48

6.r³ = 48

r³ = 8 maka r = 2

Jumlah 6 suku pertama = S₆

6. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

A. 65 m D. 77 m

B. 70 m E. 80 m

C. 75 m

(UN 2006)

Jawaban : B

Soal diatas merupakan permasalahan deret geometri tak hingga, dari soal diatas diperoleh :

a = 10 m dan r = ¾

Jumlah seluruh lintasan :

PEMBAHASAN

A. Pengertian Deret Geometri

Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret geometri.

Jadi, bentuk penjumlahan dari barisan geometri U₁, U₂, U₃, …, yaitu U₁+ U₂ + U₃ + … disebut deret geometri.

Bentuk umum deret geometri :

(

) atau (a + ar² + … + ar^n-1).

dimana:
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

o Jumlah n suku

, jika

Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
U_n> U_n-1
Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
U_n< U_n-1
Bergantian naik turun, jikar < 0
Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah

B. Pembuktian

Suku ke-n

$a_2 = a\,r^1$

$a_3 = a\,r^2$

$a_n = a\,r^{n-1}$

jadi jumlah suku ke-n adalah $a_n = a\,r^{n-1}$

Jumlah suku ke-n

$s_n = a + a\,r^1 + a\,r^2 + .... + a\,r^{n-2} + a\,r^{n-1}$ .... (1)

$s_n r = a\,r^1 + a\,r^2 + a\,r^3 + .... + a\,r^{n-1} + a\,r^n$ ... (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

$s_n - s_n r = a - a\,r^1 + a\,r^1 - a\,r^2 + a\,r^2 - a\,r^3 + .... + a\,r^{n-2} - a\,r^{n-1} + a\,r^{n-1} - a\,r^n$

$s_n\,(1-r) = a - a\,r^n$

$s_n = \frac{a\,(1-r^{n})}{1-r}$

C. Rumus-rumus Deret Geometri :

8. $a_n = a\,r^{n-1}$

9. $s_\infty = \frac{a}{1-r}$ untuk -1 < r < 1

10. $r = \frac{a_n}{a_{n-1}}$

11. $u_t = \sqrt{a\,{a_{n}}}$

12.

13. $r_b = r^{\frac{1}{x+1}}$

Catatan :

Jumlah n suku pertama deret geometri dapat di tuliskan dengan memakai notasi sigma sebagai berikut :

S_n= a + ar + ar² + . . . + ar^n-1=

Rumus poin ketiga biasanya di gunakan untuk r < 1, sedangkan rumus poin keempat digunakan untuk r>1.

Sifat-sifat S_npada deret geometri :

Jumlah n suku pertama deret geometri mempunyai sifat sebagai berikut :

1. Sn

atau

merupakan fungsi eksponen dari n yang mengandung suku tetapan

2. Untuk setiap n € bilangan asli, berlaku hubungan S_n – S_n-1 = U_n. Sifat ini sangat mudah untuk dibuktikan.

D. Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r |< 1. Jumlah S deret geometri tak hingga adalah

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga, terdapat dua kasus yang harus kita perhatikan, yaitu:

Kasus 1

Deret geometri dengan -1 <r <1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat). Kasus 2

Deret geometri dengan r <-1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen (memencar).

Jadi, deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U₁ + U₂ + U₃ + …

= a + ar + ar² + …

dimana

dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat:

Jumlah tak berhingga

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar²+ ar³+ ar⁴+ …

· Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a +ar²+ar⁴+ …

· Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + …

Maka didapatkan hubungan:

CONTOH SOAL

1. Suku pertama deret geometri = 192 dan rasionya =1/2. Jumlah 7 suku pertama deret itu adalah . . . . .

Pembahasan :

S_n=

S₇=

= 384 (

) = 381

2. Suku pertama suatu deret geometri = 16 dan rasio =

. jumlah enam suku pertama deret geometri adalah . . . . .

Pembahasan :

S_n=

= 32

= 31,5

3. Hitunglah jumlah 9 suku pertama dari barisan aⁿ = 3ⁿ.

Pembahasan:

Jumlah 9 suku pertama dapat juga dinotasikan ke dalam notasi sigma sebagai berik

Dari deret tersebut kita dapat memperoleh suku pertama a₁ = 3, rasio r = 3, dan banyaknya suku n = 9. Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama, kita mendapatkan

Jadi, jumlah sembilan suku pertama dari barisan a_n = 3ⁿ adalah 29.523.

4. Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut?

Penyelesaian:

Untuk mencari suku ke-n, jika diketahui jumlah nilai suku-sukunya, maka rumus yang berlaku adalah:

Un = Sn - S(n - 1)

Jumlah nilai 9 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S9 = 2(9)² + 4(9)

S9 = 2.81 + 36

S9 = 198.

Jumlah nilai 8 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S8 = 2(8)² + 4(8)

S8 = 2.64 + 32

S8 = 160.

Maka nilai dari suku ke-9 adalah

Un = Sn - S(n - 1)

U9 = S9 - S8

U9 = 198 - 160 = 38.

5. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 368 D. 379

B. 369 E. 384

C. 378

(UN 2008 P45)

Jawaban : C

Diketahui :

suku pertama = a = 6

suku keempat = U₄ = ar³ = 48

6.r³ = 48

r³ = 8 maka r = 2

Jumlah 6 suku pertama = S₆

6. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

A. 65 m D. 77 m

B. 70 m E. 80 m

C. 75 m

(UN 2006)

Jawaban : B

Soal diatas merupakan permasalahan deret geometri tak hingga, dari soal diatas diperoleh :

a = 10 m dan r = ¾

Jumlah seluruh lintasan :

share this article to: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg

Posted by Unknown, Published at 18.42 and have 1 komentar

VHIBLUES

DERET GEOMETRI

(DERET GEOMETRI)

1 komentar:

Tentang Saya

Popular Posts

Blog Archive

ALL Label

Followers

Total Tayangan Halaman

vhina